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Au coeur des maths, enfermement ou liberté ?

21 et 22 mai 2016 à Rennes

LVN Rennes vous propose un week-end pour parler des mathématiques dans la société.

Du samedi 21 mai (à 14 h) au dimanche 22 mai (12h), venez jouer, réfléchir, débattre à la maison des Associations de Rennes

Participation libre, inscription obligatoire.

Il y a une belle salle : venez nombreux et invitez largement autour de vous

Énigme

L’énigme des gardiens de musée

Source : Proofs from the book, Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Springer, 3e edition, 2004.

Le problème
Supposons qu’un directeur de musée veuille organiser la surveillance de son établissement de manière qu’à tout moment, tout endroit du musée soit sous la surveillance d’un gardien. Il considère que les gardiens sont à des places fixes mais qu’ils sont capables de voir tout autour d’eux.
Représentons le plan du musée par un polygone à n côtés (les côtés représentent les murs ; il y a au minimum n=3 murs pour un musée réduit à une pièce triangulaire). Si le polygone est convexe alors un seul gardien suffit et on peut le placer n’importe où dans le musée (voir Fig.1) Dans le cas où le musée a plusieurs pièces ou a des coins (voir Fig.2), le directeur aimerait savoir de combien de gardiens il aura besoin au maximum.

Le résultat
Pour tout musée à n murs, il suffit d’avoir :
m = partie_entière ( n/3) gardiens.
La preuve
Commençons par tracer toutes les diagonales du polygone qui ne se recoupent pas entre elles (voir Fig. 3). Il y en a n-3. La possibilité de les tracer est toujours vraie mais admise ici.
Le polygone est ainsi partitionné en triangles élémentaires. Nous voulons affecter une couleur à chaque sommet de ces triangles de manière que les trois sommets d’un même triangle soit de couleur différente et cela pour tous les triangles. Nous affirmons que trois couleurs suffisent pour colorier tous les sommets. Démontrons la propriété par récurrence.
Au minimum, n=3 et il n’y a rien à prouver dans ce cas qui est un triangle et donc la propriété est trivialement vraie. Considérons maintenant un polygone à n côtés avec n>3. L’hypothèse – dite de récurrence – stipule que la propriété est vraie pour tout polygone qui a moins de n côtés. Il nous la faut montrer pour le polygone à n côtés. Pour cela choisissons deux sommets u et v du polygone qui soient extrémités d’une même diagonale. Celle-ci partage le polygone initial en deux plus petits polygones qui ont chacun moins de n côtés et qui sont chacun partitionnés en triangles. Les sommets des triangles de chacun d’eux peuvent donc être coloriés avec les trois couleurs (hypothèse de récurrence). Les couleurs étant échangeables on peut toujours supposer que le sommet u est de couleur n°1 et le sommet v de couleur n°2. Dans ce cas, en recollant les deux polygones, on obtient un coloriage acceptable, ce qui prouve que les trois couleurs sont suffisantes pour colorier l’ensemble des n sommets.
Maintenant, il est facile de voir que parmi les trois couleurs au moins une colorie au maximum m=partie_entière ( n/3 ) sommets. Plaçons donc les gardiens à ces sommets et le théorème est prouvé.

Un cas maximal
Le nombre maximal de gardiens peut être atteint par un musée à forme de peigne (voir Fig. 4).

Les nombres premiers

• Un nombre entier naturel comme 60 peut être représenté sous forme d’un produit de nombres entiers naturels, souvent de différentes façons
60=2x30=3x20=4x415=5x12=6x10=10x6=12x5=15x4=20x3=30x2

• On dit que ce nombre est "composé"
et on définit ses "diviseurs" : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30

• On remarque que ces diviseurs vont par paires : 2 et 30, 3 et 20...
et éventuellement on peut ajouter la paire : 1 et 60

• D’autres entiers "résistent" à tout essai de division : 2, 3, 5, 7, 11, 13...
Ce sont... les nombres premiers

• Nota : 0 toujours divisible 0/N=0 et 1 toujours diviseur N/1=N sont "hors course"

Où sont les nombres premiers ?

La répartition des nombres premiers, à la recherche de régularités - source : wikipédia, les nombres premiers
La répartition des nombres premiers, à la recherche de régularités
Source : wikipédia, les nombres premiers
Cette image représente les 76 800 nombres de 1 à 76 800 ; chaque ligne fait 320 pixels et
représente 320 nombres (de 1 à 320, de 321 à 640...) et il y a 240 lignes (76 800=320 x 240). Un pixel blanc représente un nombre composé, un noir un nombre premier. Les colonnes blanches très visibles correspondent aux triplets constitués de nombres terminés par 4, 5 et 6 qui ne sont jamais premiers (sauf 5) ; les multiples de 10 (=nombres terminés par 0) constituent aussi des colonnes blanches, mais peu visibles ici.

Jacques Darlot

Le week-end en vidéos

Présentation du week-end

Retrouvez l’intégralité des interventions...
- Un parcours historique en quelques séquences
- La rencontre philo
- Les mathématiques dans la société

Programme

Samedi

14h00 – 16h30 : apprenons !
D’Eratosthène à Wiles.
Un parcours historique en quelques séquences.
Intervenants : Y. Chaux, ingénieur Orange Rennes ; J. Darlot, ingénieur retraité de l’AUDIAR, Rennes ; J. Erhel, chercheur à INRIA Rennes ; B. Philippe, chercheur retraité de INRIA Rennes ; J.-P. Escofier, maître de conférence retraité de mathématiques à l’université Rennes 1).

17h00 – 17h30
Présentation d’une machine de Turing. Intervenant : Marc Raynaud.

17h30 – 19h00
Rencontre philo.
Que libèrent les mathématiques ? Ouverture ou dessaisissement ?
Débat introduit par Jean-Marc Hémion, professeur de philosophie en classe préparatoire au lycée Chateaubriand de Rennes.

20h30 – 22h45 : jouons !
Loisirs mathématiques parallèles.

  • Atelier 1 : Projection du film : « Imitation game », film de Morten Tyldum sur la vie du mathématicien Alan Turing.
  • Atelier 2 : Jeux mathématiques autour de deux stands (Le Rubik’s cube par G. Chenon professeur retraité de collège et jeux de l’IREM Rennes par M.-P. Lebaud, professeur agrégé de mathématiques à l’université de Rennes 1 et Pascale Aubry, professeur au collège La Roche aux fées à Rétiers).

Dimanche

9h30 – 12h00 : débattons !
Les mathématiques dans la société : outil d’émancipation ou de renforcement des inégalités ?
A partir de trois exposés de 30 mn suivis de débats :

  • Les mathématiques dans l’enseignement, comment les enseigne-t-on ? Quel est leur rôle dans la sélection des élèves ? Intervenant : R. Belloeil, professeur certifié de mathématiques au lycée René Descartes de Rennes, ancien président national de l’APMEP (Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public)
  • Les mathématiques, un outil indispensable pour la prévision économique… sauf pour l’essentiel. Intervenants : A. Charpentier, maître de conférences de mathématiques à la faculté de sciences économiques de l’université Rennes1 et professeur à l’université du Québec à Montréal, et F. Gaudichet, directeur régional honoraire de la Banque de France.
  • Les machines intelligentes au service de l’Homme ? Risque-ton d’en perdre le contrôle ? Intervenantes : M.-O. Cordier, professeur émérite d’informatique à l’université de Rennes 1, et J. Erhel, directeur de recherche à INRIA Rennes.

Inscription obligatoire :

Affiche
Programme
Présentation détaillée

Lecture conseillée

Textes philosophiques proposés par J.-M. Hémion
Suivez ce lien pour télécharger les textes...

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